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科学松鼠会

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Riemann 猜想漫谈 (九)  

2012-03-29 14:00:36|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文作者:卢 昌海

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

十三. 从纸笔到机器

Riemann-Siegel 公式的发表大大促进了人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算。 如我们在第 十一十二 两节的介绍及实际运用中看到的, Riemann-Siegel 公式中的求和的项数是由 n2<(t/2π) 这一条件确定的, 这表明用 Riemann-Siegel 公式计算一个位于 s=1/2+it 附近的零点所需的计算量为 O(t1/2)。 而在这之前人们所用的 Euler-Maclaurin 公式计算同一零点所需的计算量约为 O(t), 两者在计算量上的差别——也就是 Riemann-Siegel 公式相对于 Euler-Maclaurin 公式的优越幅度——随着 t 的增大而变得越来越明显。 因此 Riemann-Siegel 公式对于 Riemann ζ 函数非平凡零点的大规模计算来说, 要比 Euler-Maclaurin 公式有效得多。

Riemann-Siegel 公式发表之后大约过了四年, Hardy 的学生、 英国数学家 Edward Titchmarsh (1899-1963) 就成功地计算出了 Riemann ζ 函数的前 1,041 个零点——如所预料的, 它们全都位于临界线上。 这是十一年来数学家们首次突破我们在 第八节 提到过的 138 个零点的记录。 Titchmarsh 的工作在 Riemann ζ 函数非平凡零点计算史上的地位是双重的: 从计算方法上讲, 它是数学家们首次运用 Riemann-Siegel 公式取代 Euler-Maclaurin 公式进行的大规模零点计算; 从计算手段上讲, Titchmarsh 的计算使用了英国海军部用来计算天体运动与潮汐的一台打孔式计算机 (punched-card machine), 这是数学家们在零点计算上首次使用机器计算取代传统的纸笔计算。 这两个转折是数学与技术相辅相成的结果, 它奠定了直到今天为止人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行计算的基本模式。

Titchmarsh 之后零点的计算因第二次世界大战的爆发而中断了十几年。 战后最先将计算推进下去的是著名的英国数学家 Alan Turing (1912-1954)。 Turing 其实早在战前就对 Riemann 猜想产生了兴趣。 与当时的许多其他年轻数学家一样, Turing 对 Hilbert 演讲中提到的数学问题很感兴趣, 这其中又尤其以 第十问题 与包含了 Riemann 猜想的第八问题最让他着迷[注一]。 他后来的主要研究大都是以这两个问题为主轴展开的。 1936 年 Turing 到 Princeton 大学读研究生, 在那里见到了来访的 Hardy (他原本希望能在那里见到 G?del, 可惜后者当时已去了欧洲)。 那时 Hardy 对 Riemann 猜想的态度已经相当悲观。 这种悲观情绪对 Turing 产生了影响, 他觉得这么多年来所有证明 Riemann 猜想的努力都归于失败也许不是偶然的, 而意味着应该换个角度思考问题了。 人们一直无法证明 Riemann 猜想, 也许并非因为它太难, 而是因为它根本就不成立!

一个数学命题, 它的成立固然需要证明, 它的不成立同样也需要证明。 那么, 假如 Riemann 猜想真的不成立, 我们怎样才能证明这一点呢? 我们当然可以试图从数学上直接证明其不成立 (或证明其否命题成立), 这是一种方法。 但还有一种办法, 那就是找到一个反例——即找到一个不在临界线上的零点。 这种方法的好处就是不在乎数量多少, 只要一个反例就足够了, 正所谓 “一粒老鼠屎就能坏掉一锅粥”。 被后世誉为 “计算机与人工智能之父” 的 Turing 显然对后一种方法情有独钟。 当时 Turing 已经提出了后来以他名字命名的 Turing 机的概念。 很自然的, 他希望建造一台机器来计算零点。 但是这一工作起步不久, 英国就卷入了二战, Turing 开始参与英国情报部门破译德军密码的工作, 建造机器的计划被搁置了下来。 直到战争结束后, Turing 才渐渐恢复了建造机器及计算零点的计划。 Turing 虽然是以其对计算机及人工智能领域的卓越贡献著称的, 但他在传统数学领域内也有相当深厚的功力, 早在读本科的时候, 就曾独立证明了概率论中著名的中心极限定理 (central limit theorem), 只可惜比芬兰数学家 Jarl Waldemar Lindeberg (1876-1932) 晚了十余年。 在建造机器的同时, Turing 对计算零点的数学方法也进行了研究, 并做了一些改进。

经过几年的努力, 到了二十世纪五十年代初, Turing 终于完成了自己的机器, 并且比在二战前创造过记录的 Titchmarsh 略进一步, 于 1953 年计算出了前 1,104 个零点。 不过他试图寻找 Riemann 猜想反例的努力并不成功, 因为他所计算出的所有零点全都位于临界线上, Riemann 猜想在他计算所及的范围内岿然不动。 在那之后, Turing 的机器坏掉了。 几乎与此同时, 他的个人生活也遭遇了极大的挫折。 他于 1952 年被控犯有当时属于违法的同性恋行为, 受到强制药物治疗及缓刑的处罚。 两年后他被发现因氰化物中毒死于寓所。 多数人相信他是自杀[注二]

在 Turing 之后, 随着计算机技术的加速发展, 数学家们对零点的计算也推进得越来越快, 几乎呈现出你追我赶之势: 1956 年, D. H. Lehmer 计算出了前 25,000 个零点; 两年后 N. A. Meller 把这一记录推进到了前 35,337 个零点; 1966 年, R. S. Lehman 再次刷新记录, 他计算了前 250,000 (二十五万) 个零点; 三年后这一记录又被 J. B. Rosser 改写为了前 3,500,000 (三百五十万) 个零点。

Riemann ζ 函数的零点计算步入了快车道!

十四. 最昂贵的葡萄酒

验证了三百五十万个零点虽不足以证明什么, 但对 Riemann 猜想还是有着一定的心理支持作用。 不过许多数学家对这点心理支持作用很不以为然, 其中有一位数学家最为突出, 不仅不以为然, 而且还跟同事打赌!

这位数学家是德国 Max Planck 数学研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的 Don Zagier (1951-)。 对 Zagier 来说, 区区三百五十万个零点对 Riemann 猜想来说简直就是 “零证据” (zero evidence), 因为他认为 Riemann 猜想的反例根本就不可能出现在这么靠前的零点之中, 因此当时已完成的所有有关 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算在他看来其实都还远没有涉及到真正有价值的区域。

那么究竟要计算多少个零点对 Riemann 猜想才可能会具有判定性的价值呢? Zagier 通过对一些由 Riemann ζ 函数衍生出来的辅助函数的研究, 而做出了自己的估计, 他认为大约要计算 300,000,000 (三亿) 个零点。

Zagier 的怀疑论调很快遇到了对手。 二十世纪七十年代初, Max Planck 数学研究所的访客名单中出现了一位铁杆的 Riemann 猜想支持者: 意大利数学家 Enrico Bombieri (1940-)。 这是一位非同小可的人物, 在数论、 分析及代数几何领域都有不凡的造诣, 并将在不久之后的 1974 年获得数学界的最高奖——菲尔兹 (Fields) 奖。 Bombieri 深受英国哲学家 William of Occam (1288-1348) 的科学简单性原则——俗称 Occam 剃刀 (Occam's Razor)——的影响, 对他来说, 一个不在临界线上的零点就像交响乐中的一个失控的音符, 是完全无法令人接受的, 因此 Riemann 猜想一定得成立。

一个疑心重重、 一个深信不疑, 怎么办呢? Zagier 提议打赌。 不过人生苦短, 两人都意识到自己未必能有机会在有生之年见到 Riemann 猜想被证明或证伪。 为了不使赌局太过遥遥无期, 双方决定以 Zagier 认为具有判定性价值的前三亿个零点为限。 如果 Riemann 猜想在前三亿个零点中出现反例, 就算 Zagier 获胜; 反之, 如果 Riemann 猜想被证明, 或者虽然没被证明, 但在前三亿个零点中没有出现反例, 则算 Bombieri 获胜[注三]。 他们定下的赌注为两瓶波尔多葡萄酒 (Bordeaux)。

赌局已定, 接下来就是等待结果了。 要等多久呢? Zagier 也做出了自己的估计, 他认为这个赌局要分出胜负也许得等上三十年的时间, 理由是当时计算机的运算能力距离能够计算三亿个零点还相差很远, 而且计算 Riemann ζ 函数的零点没什么应用价值, 在 CPU 时间十分昂贵的时代并不是人们热衷的计算课题。 可是没想到仅仅过了几年, 1979 年, 由澳大利亚数学家 Richard Brent (1946-) 领导的一个研究组就把零点计算推进到了前 81,000,000 (八千一百万) 个零点。 不久之后, 荷兰国家数学及计算机科学研究所 (National Research Institute for Mathematics and Computer Science) 的数学家 Herman te Riele (1947-) 领导的一个研究组更是成功地计算出了前两亿个零点。

所有这些被计算出的零点都毫无例外地落在了 Riemann 猜想所预言的临界线上。 这一系列神速的进展大大出乎了 Zagier 的意料, 对他的钱包更毫无疑问地是一串大大的凶兆。 到这时 Zagier 已经知道自己太低估计算机领域的发展速度了。 不过 te Riele 在两亿个零点处终止计算还是让他松了一口气, 他庆幸地表示: “毫无疑问他们有能力推进到三亿, 但感谢上帝, 他们没那么做。 现在我总算有几年的时间可以喘息了。 他们是不会为了多算 50% 而推进的。 人们会等待能够算到十亿个零点的那一天, 那将是许多年后的事了。”

Zagier 的如意算盘不能说毫无道理。 毕竟, 计算零点不像百米赛跑, 在百米赛跑中由于比赛记录已经逼近了人类所能达到的速度极限, 因此大家会不惜为百分之一秒的细微差异争个你死我活。 计算零点却是一条没有尽头的征程, 计算能力的发展在相当长的时间内也是没有尽头的。 在这种没有尽头的征程上, 仅仅多算百分之几十的零点是不够刺激的, 人们更感兴趣的是数量级上的推进。 这也正是 Zagier 认为自己可以喘息几年的心理屏障。 可惜人算不如天算。 Zagier 万万没有想到的是, 他的一位好朋友——荷兰数学家 Hendrik Lenstra (1949-) 当时正好与 te Riele 同在一个城市——阿姆斯特丹! Lenstra 是知道 Zagier 和 Bombieri 的赌局的。 如今眼看好戏就要开演了, 正自心痒难搔, te Riele 竟然不合时宜地在两亿个零点处停了下来, Lenstra 心里那份难受就甭提了 (大家以后可得留神好朋友啊!), 于是他给 te Riele 做了耐心的思想工作: 你知不知道, 如果你算到三亿, Zagier 就会输掉一个赌局! te Riele 一听原来计算零点还有这么伟大的意义, 那还等什么? 把 Zagier 干掉啊! 于是大家一鼓作气把计算推进到了 307,000,000 (三亿零七百万) 个零点处。 那是在 1982 年。

Zagier 输了。

Zagier 兑现了诺言, 买来两瓶波尔多葡萄酒, Bombieri 当场打开其中一瓶与 Zagier 共享。 这一瓶酒, 用 Zagier 的话说, 是世界上被喝掉的最昂贵的葡萄酒。 因为正是为了这两瓶葡萄酒, te Riele 特意多计算了一亿个零点。 这花费了整整一千个小时的 CPU 时间, 而 te Riele 所用的计算机的 CPU 时间在当时大约是七百美元一小时。 换句话说, 这两瓶葡萄酒是用七十万美元的计算经费换来的, 从这个意义上讲, 被他们喝掉的那一瓶葡萄酒的价值高达三十五万美元!

喝完了那瓶葡萄酒, Zagier 从此对 Riemann 猜想深信不疑。 只不过, Bombieri 相信 Riemann 猜想是因为它的美丽, 是因为 Occam 剃刀; 而 Zagier 相信 Riemann 猜想则是因为证据, 是因为他觉得证据已经足够强了。

注释

  1. Hilbert 第十问题 是: 给定一个任意的 Diophantine 方程, 设计一种普遍的算法, 能用有限多次运算确定该方程是否有整数解。 Turing 对计算机及人工智能的研究与这一问题有着密切的关系。
  2. 从某种角度看, Turing 与传记作品及影片《美丽心灵》(A Beautiful Mind) 的主角、 美国数学家 John Nash (1928-) 颇有相似之处: 两人都对纯数学有着浓厚兴趣, 研究成果却对应用领域影响深远; 两人都对物理学有过一些兴趣; 两人都有为军方服务的经历; 两人后来的精神世界都偏离了常轨……
  3. 严格讲, 他们的赌约还忽略了一种可能性, 那就是 Riemann 猜想在数学上被证伪, 但反例并不出现在前三亿个零点之中 (或虽然出现在前三亿个零点之中, 但尚未有人做过计算)。 显然, 这个忽略对 Zagier 比较不利, 不过它对赌局后来的发展没有产生影响。

二零零四年六月十九日写于纽约
二零零四年六月十九日发表于本站
二零一二年二月二日最新修订

http://www.changhai.org/

Riemann 猜想漫谈连载

(本文授权转载自卢昌海老师的个人博客,欲再转载者请联系原作者)

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