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科学松鼠会

让我们剥开科学的坚果

 
 
 

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什么是科学松鼠会? 我们认为,对于部分人来说,科学就像一枚枚难以开启的坚果,虽味美却不易入口。 我们希望自己能够像松鼠一样,打开科学的坚硬外壳,将有营养的果仁剥出来,让人们能够领略到科学的美妙。 我们试图让科学传播并且流行起来。

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看物理学家怎样搞定交通罚单  

2012-04-18 13:02:01|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文作者:沐右

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在美国开车碰上“stop”的标记,要停车让行。不同于红绿灯,虽然法律要求汽车在这种标志前完全停止,但并未规定停车时间(不过要求看清路况)。也就是说,在这个标志面前只要车速降到 0 就“安全”了。如果不幸被躲在一边的警察发现车没有停住,一张罚单不可避免。对大多数司机来说,碰到这种事情也就只有认错交款的份。但加州大学圣地亚哥分校的一名高级研究员 Dmitri Krioukov 在因为这个原因被加州警察罚款之后,选择了上法庭申诉。

当时的情况是,他经过的道路有两条车道,在他的车身较短的丰田雅力士(Toyota Yaris)和警察中间还有另外一辆车身较长的车在通行,两辆车几乎同时从停车标记S的地方通过。他以一篇 4 页纸的物理论文向法庭证明,在这种环境下,由于另一辆车的遮挡,完全存在自己停了但警察没看到,而被误认为没有停的可能。据此 Dmitri 说服法官,成功免掉了 400 美元的罚款[1]。

早在 4 月 1 日, Dmitri 就将这篇论文公布在科学论文预印本网站arXiv上[2]。让我们一起来看看他的论证过程是怎样的,也体验一把法官的感觉。

警察依据什么开出罚单?

首先让我们还原一下“案发现场”,如下图所示,警察 O 在和道路 L 垂直的方向上观察通过停车标志 S 处的车辆 C,当他看到车 C 没有在 S 的地方完全停止,就可以追上去给司机开出一张罚单。假设车的速度为 v,车离 S 的距离记作 x,警察离停车标志的距离 SO 记作 r 0 , 角SOC 记作 α。根据几何关系可以很容易得出,对应于随时间变化的距离 x(t),角度α(t)=arctan[x(t)/ r 0 ]。

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【警察在和道路垂直的方向上观察通过停车标志的车辆】

但实际上,警察观察的并不是车辆沿着道路行使的直线速度 v,而是车辆在道路上行驶时相对 O 点的角速度 ω(角度α的变化率)。就像我们站在铁路边上观察驶过的火车那样,当火车距离很远的时候,看上去像没有动一样;而当火车从面前经过的时候,我们感受到的速度非常快。对于以速度 v 匀速行驶并在 t=0 时刻通过 S 点的车辆,其对应的角速度 ω 可以用公式表示为

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如果车的速度为 10 m/s, r 0 = 10 m,在 O 点的警察看到的角速度就如下图所示:

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【警察观察到的匀速通过停车标志S车辆的角速度曲线】

而对于以同样大小的加速度 a 0 从 v 减速到在 S 处完全停止(t=0),再重新加速到原有的速度 v 的情况,其角速度也可以很容易地推导出来,为

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当初始速度为10 m/s 时,加速度为1, 3, 10 m/ s 2 不等的几种情况,警察观察到的角速度如下图所示:

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【警察观察到的以同样大小的加速度a0先匀加速再匀减速通过S点车辆的角速度】

警察通过观察车辆在 S 处的角速度,就可以判定车辆是否在停车标志 S 的地方完全停止(角速度为零)。如果车辆用于停止和加速的加速度比较大,那么体现停车的角速度特征对应的时间会很短,在视线被影响的条件下,警察确实有可能误判。

物理学家如何为自己辩护

前面说过,故事主角 Dmitri 当时经过的道路有两条车道,在他的车和警察中间还有另外一辆车在通行。 Dmitri驾驶的是雅力士,车身较短(在车道1),而另外一辆车身较长,可能是斯巴鲁傲虎(Subaru Outback)之类的车(在车道2),这两辆车同时从停车标记S的地方通过。

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【警察的视线可能受到了另外一辆车的阻挡而没有观察到Dmitri停车的过程】

问题是这辆车真的让警察误判了吗?要回答这个问题,就要准确判断警察视线受阻的时间,因此我们需要知道知道车辆的运行速度等信息。根据 Dmitri 本人的陈述,当天天气寒冷导致他身体状况不佳,在接近停车标志减速的时候他正打喷嚏,所以刹车踩的很猛,选择 a 0 =10 m/ s 2 会更接近当时的情况。据此,他估算的警察视线被部分遮挡和全部阻挡的时间分别为 t p =1.31 秒和 t f=0.45 秒。而在 a 0 =10 m/ s 2 的情况下减速或加速的过程需要的时间为 t’=1.07 秒,虽然比全部阻挡的时间长但比部分阻挡的时间短。因此很有可能警察没有看到他减速到完全停下来再加速的过程(虽然时间很短)。

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【在另一辆车遮挡视线情况下,警察可能会把观察到的角速度和预想的匀速运动混淆起来】

这样一来,虽然 Dmitri 的车实际的角速度是上图中蓝色的曲线,其中实现了完全停止,不过由于另一辆车的阻挡,警察观察到的是红色的虚线,并没有看到中间减速和加速的过程。警察的观察和预想的以 8 m/s 速度匀速通过的车辆的角速度比较接近,可能他正是据此判定 Dmitri 没有停车而开出罚单的。

根据这些分析, Dmitri 总结说,在以下三种因素的影响下,警察很可能做出了错误的判断:

警察并不是用特殊的设备来观测车辆的线速度,他是用眼来估计车辆的角速度;车辆减速和加速的加速度比较大;在t=0时刻附近,警察的视线被另外一辆车阻挡。

在法庭上,这个理论说服了法官,也说服了出庭作证的警察。这使得他成功免掉了 400 美元的罚款。

之后很快,几乎全世界都知道了这个“物理学家统治世界”的传奇故事。根据圣地亚哥当地新闻的报道,当被问到是否真的完全停车时, Dmitri 微笑着说 ,“我当然停了”。

很可能法官被骗了

不得不说,Dmitri 在这次“斗争”中表现得智勇双全。不过他很可能只是欺负了法官和警察是外行。因为他的分析并非无懈可击,比如 PhysicsCentral 的报道就提到[3],Dmitri的推导有一个瑕疵。

虽然文章里面对警官视线受阻时间的估计也不是很合理,不过最大的瑕疵恐怕还是在加速度上。根据网上能找到的关于丰田雅力士的介绍(比如 这个 ),这种车从100千米每小时减速到静止需要47.21米,对应的加速度和理论里使用的10 m/s2 接近,但是从静止加速到 100 千米/小时 的速度大约需要 10 秒。也就是说,它的最大加速度大约为 3 m/s2 左右,不能够达到 Dmitri 宣称的 10 m/s2 。因此,很有可能他并没有在停车标志的地方完全停止,只是成功运用物理知识使得法官和警察相信了这种可能性。

PS:据推测法官和警察看到这篇论文的反应应该是“虽不明但觉厉”……

扩展阅读

在高呼“物理宅拯救世界”的同时,你知道为什么这几页纸可以在法庭上推翻警察的罚单吗?请看谋杀站的文章 物理宅的法庭“历险记” ,告诉你轻罪庭的司法程序是怎样的。

参考资料

1. NBC-San Diego, Man Uses Physics to Fight $400 Traffic Ticket

2. Dmitri Krioukov, The Proof of Innocence, arXiv:1204.0162

3. PhysicsCentral, Physicist Uses Math to Beat Traffic Ticket

本文首发于于果壳网(guokr.com)死理性派主题站 《看物理学家怎样搞定交通罚单》

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