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科学松鼠会

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什么是科学松鼠会? 我们认为,对于部分人来说,科学就像一枚枚难以开启的坚果,虽味美却不易入口。 我们希望自己能够像松鼠一样,打开科学的坚硬外壳,将有营养的果仁剥出来,让人们能够领略到科学的美妙。 我们试图让科学传播并且流行起来。

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网球马拉松大战,出现的概率有多大?  

2012-07-19 11:26:12|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文作者:Albert_JIAO

2011年小德终于击败纳达尔获得了温网冠军,这已经是德约科维奇对阵纳达尔的第五连胜了。当然或许你早已厌倦BIG4(纳达尔、德约科维奇、费德勒和穆雷)的新闻了。那不如来看看美国大炮伊斯内尔和法国选手马胡的恩怨吧。2010年温网首轮,两人联手演绎了一场史上耗时最长的比赛,共计打了665分钟,光是决胜盘就打了491分钟。

巧合的是,今年的温网男单首轮两位“马拉松先生”再次狭路相逢。不过这次二人倒没闹什么大动静,比赛2个小时就结束了,伊斯内尔直落三盘拿下比赛。

那网球比赛里这种“没完没了”的拉锯战出现的机会到底有多大?其实我们可以用一个简单的数学模型算一下。

拉锯战是怎么形成的

首先需要解释的是:到底是什么导致一场网球比赛开始“没完没了”?

按温网男子网球单打规则,运动员每胜1球得1分,先胜4分者胜1局。但遇双方各得3分时,则为“平分”。“平分”后,一方先得1分时,为“接球占先”或“发球占先”。占先后再得1分,才算胜一局。一方先胜6局为胜一盘,但遇双方各得5局时,一方必须净胜两局才算胜一盘。当一盘的局数为6平时,进入决胜局,先得7分为胜该局及该盘。比赛采取的是五盘三胜制,先胜三盘者获得最终胜利。

如果在前四盘中双方打平,且在第5盘决胜盘的比分达到5:5时,则不再“抢七”,开始采取长盘制:一位选手领先另外一位选手两局才可以分出胜负。通常都是因为双方在长盘中每两局互胜一局,导致拉锯由此开始。

发球局的概率

为什么长盘中双方每两局总是互胜一局?

这是因为长盘每两局中,两个球员各拥有一个发球局。而网球选手基本都能很好地把握自己的发球局。

如果运动员在一局里始终拥有发球权,则称本局为其发球局,网球比赛中双方会交替有发球局。一般而言,运动员在自己的发球局里得分成功率都很高,资料显示,伊斯内尔和马胡特两位选手在遇到体重相当的选手时,发球局的得分率都在p=75%左右。

为了赢得一局比赛,选手需要至少要拿到4分才可以。如果运动员最后在自己的发球局中以4:0获胜,那这种情况发生的概率是 p 4 。如果最终以4:1获胜,那么五个球中,发球局方得4分,接球局方只得1分。接球局方赢的这个球可能是第1个、第2个、第3个或者第4个(最后一分一定为发球局方所得),所以,这种情况发生的概率就是:


如果发球一方最后以4:2获胜,用类似的方法算出其概率是:


当双方打成3:3平时,发球局一方最后获胜的情况有很多种可能。经过计算可知,在3:3平后发球局一方获胜的概率是:


显然,四个概率之和就是运动员在自己的发球局里的获胜概率:


把p=0.75代入上式就会发现,两位运动员在各自的发球局中,整局获胜的概率明显高过单个球的得分成功率,达到95%,优势明显。换言之,也就是说在对方发球局中,如果想破发,平均每20次才会有一次机会。这表明,通常球员都可以成功拿下自己的发球局。

拉锯战出现的概率

之所以形成拉锯战,无非是因为双方都能稳稳赢下自己的发球局,每两局都互有胜负。所以,一场马拉松式的比赛结束条件就是——不仅要保住自己的发球局,还必须拿下之后的破发局。倘若双方都迟迟不能破发,那比赛就只能一直纠缠下去。

由此可见,马拉松式比赛出现的概率和当长盘出现后它能延续多久这个问题是等价的。让我们根据这个思路往下思考:

当在决胜盘中比分达到了5:5后,比赛进入长盘,双方轮流拥有发球局。假设从第11局开始,以后经过n局才能分出胜负,那么n的概率应当为几何分布:


所以比赛可以在第n局之前结束的概率就是:

在2010年的那一场长盘中,双方一共进行了138局,即n=128,你可以从下图看到该事件发生的概率:


从上图可以看到,当双方发球局的优势真的达到了95%时,长盘局数大于等于128的可能性是0.14%,约700分之一;而在现实情况中,由于种种原因(比如体力),选手发球局的胜率会有所降低,当发球局平均胜率降到90%时(注意这个胜率依然很高),那么出现138局长盘的概率就只有72万分之一了。

这表明,即使两位选手势均力敌,将比赛又拖到长盘,并且都能在自己的发球局中稳定发挥,按照上述的分析与计算,拉锯战出现的概率也是非常之低的。看来,一场马拉松式的网球比赛也不是随随便便就能碰到的。

本文首发于果壳网(guokr.com)“死理性派主题站”《网站马拉松大战,出现的概率有多大

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