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Riemann 猜想漫谈 (十八)  

2012-07-19 09:07:33|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文作者:卢 昌海

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

三十二. 从模算术到有限域

“山寨版” Riemann 猜想这枚坚果该从哪里啃起呢? 为了彰显将科普进行到底的决心, 让我们从中小学算术啃起吧!

这并不是搞笑, 在它背后其实有一段小小的故事——一段与美苏冷战有关的故事。 故事发生在半个多世纪前的 1957 年。 那一年, 苏联先于美国将一颗人造卫星送入了近地轨道, 迈出了航天时代的第一步。 这一在太平年代可以令全人类共同自豪的成就, 由于发生在冷战时期, 带给美国的乃是巨大的震动和反思。 作为反思的结果之一, 美国初等教育界兴起了一场以革新教材为主旨的所谓 “新数学” 运动 (New Math), 试图 “从娃娃抓起”, 加强教育、 奋起直追。 在这场运动中, 许多原本晚得多才讲述的内容被加入到了中小学教材中, 其中包括公理化集合论 (axiomatic set theory)、 模算术 (modular arithmetic)、 抽象代数 (abstract algebra)、 符号逻辑 (symbolic logic) 等[注一]。 这种 “拔苗助长” 般的革新不仅远远超出了普通中小学生的接受能力, 甚至也超出了一部分中小学教师的教学能力, 因此只尝试了几年就被放弃了。 不过对我们来说, 这场 “小跃进” 式的 “新数学” 运动却是一个很好的幌子, 让我们能够宣称从中小学算术开始本节的科普, 因为我们将要介绍的 “山寨版” Riemann 猜想, 可以从 “新数学” 当中的一种——模算术——说起。

模算术的一个典型的题目是: 现在时钟的时针指向 7, 请问 8 小时之后时针指向几? 这个题目与 “7+8=?” 那样的传统小学算术题的差别, 就在于时钟上的数字是以 12 为周期循环的, 从而不存在大于 12 的数字。 这种带有 “周期” 的算术题就是典型的模算术题目, 它通常被表述为 “7+8=? (mod 12)”, 其中的 “(mod 12)” 表示以 12 为周期, 而这周期的正式名称叫做 “模” (modulus), 模算术之名因此而来[注二]

模算术是数论中一种很有用的工具, 数学大腕 Euler、 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)、 Legendre 等人都使用过, 但对它的系统研究则要归功于 Gauss。 1801 年, 这位被后世尊为 “数学王子”, 且当时正值 “王子” 年龄 (24 岁) 的数学家在其名著《算术探讨》(Disquisitiones Arithmeticae) 中系统性地运用了模算术, 证明了许多重要命题, 并为后世奠定了该领域的若干标准术语。 由于讲述模算术的最通俗例子就是上面所举的有关时钟的题目, 因此模算术也称为 “时钟算术” (clock arithmetic), 而为了纪念 Gauss 对这一领域的巨大贡献, 那时钟则被一些科普作家称为 Gauss 时钟 (Gauss clock)。

Gauss 时钟所包含的刻度数目不一定非得像普通时钟那样为 12, 而完全可以是其它数目。 事实上, 对于我们的真正兴趣而言, 刻度数目为 12 的 Gauss 时钟是一个很糟糕的例子, 因为在它上面虽然可以进行加减法和乘法, 但作为乘法逆运算的除法却并不总能够进行的 (请读者自行证实这一点)。 在数学上, 一个集合如果元素之间加、 减、 乘、 除全都可以进行, 而且无论怎么折腾, 都像孙悟空翻不出如来佛掌心一样, 仍在那集合之中, 我们就会给它一个专门的名称, 叫做域 (field)[注三]。 域的概念在数学上有很大的重要性, 并且也是我们真正感兴趣的东西, 因为我们熟悉的有理数、 实数、 以及表述 Riemann 猜想时用到过的复数的集合全都是域, 即将介绍的 “山寨版” Riemann 猜想也离不开域。 而所含刻度数目为 12 的 Gauss 时钟由于无法保证除法的进行, 便无法用来表示域, 从而是一个很糟糕的例子。

对于域, 我们可以将之粗略地分为两类: 一类是像有理数、 实数和复数的集合那样所含元素数目为无限的, 另一类则是所含元素数目为有限的。 这两类域各有一个很直白的名字, 前者叫作无限域 (infinite field), 后者叫做有限域 (finite field)。 我们真正感兴趣的东西粗略地讲是域, 确切地说其实是有限域, 因为它在某些方面比无限域来得简单, 从而是构筑 “山寨版” 东西的好材料。

虽然所含刻度数目为 12 的 Gauss 时钟——如前所述——无法用来表示域, 但某些 Gauss 时钟确实可以用来表示域——当然, 这里的域是指有限域。 比如, 有限域的一个最简单的例子就是只含 0 和 1 两个刻度的 Gauss 时钟 (请读者自行列出这个有限域中的加、 减、 乘、 除结果), 这个有限域通常记为 F2——下标 2 表示元素的数目 (等同于 Gauss 时钟的刻度数目)。

很简单吧? 不愧是中小学算术, 但我们的科普很快就要提速了。

既然含有两个元素的有限域记为 F2, 那么大家一定可以推想到, 含有 p 个元素的有限域的记号就是 Fp。 完全正确! 不过, 细心的读者也许会提出一个问题: 那就是 p 这个字母在我们这个系列中通常是表示素数的, 这里为何不用一个更普通的字母, 比如 n 呢? 答案是: 这是存心的。 我们刚才提到过, 某些 Gauss 时钟可以用来表示有限域, 到底是哪些 Gauss 时钟呢? 正是那些所含刻度数目为素数的 Gauss 时钟。 这一点的普遍证明并不困难, 感兴趣的读者可以从前面所说的刻度数目为 12 的 Gauss 时钟不能表示有限域的原因入手, 来琢磨一下普遍证明的思路。

能够用 Gauss 时钟来表示, 对于有限域来说无疑是一个很利于科普的特点, 但却不是必不可少的条件。 事实上, 不能用 Gauss 时钟来表示 (即元素数目不是素数) 的有限域也是存在的。 而更微妙的是, 有限域的元素数目虽然可以不是素数, 却也不是完全任意的。 那么, 究竟什么样的元素数目才是可能的呢? 答案是: 它必须为素数的正整数次幂。 换句话说, 如果我们用 Fq 表示有限域, 那么 q 只能是 q=pn (n=1, 2, 3, ...)[注四]。 现在我们可以对所含刻度数目为 12 的 Gauss 时钟做出更完整的评价: 它确实是一个很糟糕的例子, 因为 12 不仅不是素数, 连素数的正整数次幂都不是, 因此根本就不存在元素数目为 12 的有限域, 更遑论用那样的 Gauss 时钟来表示。

好了, 从模算术开始, 我们引出了有限域这个概念, 并宣称这是我们在本节中真正感兴趣的东西。 那么, 对于有限域, 究竟有什么东西值得我们研究呢? 答案是: 方程。 事实上, 域的概念的引进, 本身就与研究方程有着密切关系, 因为减法与除法这两种运算的引进, 在很大程度上就是为了研究诸如 a+?=0 和 a×?=1 那样的方程。 研究方程是数学中最古老的探索之一, 像方程是否有解? 有多少个解 (即解的数目)? 如何求解? 那样的课题, 从古至今都有一些数学家在研究。

而对这些课题的研究, 往往与在什么域中研究有着很大关系。 比如说, 曾经难住数学家们长达 358 年 (这个记录连 Riemann 猜想也未必能打得破) 才被解决掉的 Fermat 猜想 (如今已荣升为 Fermat 大定理) 如果放到实数域中, 根本就不是问题。 既然对方程的研究与在什么域中研究有着很大关系, 那么有限域上的方程自然也可以成为研究课题, 事实也确实如此。 这其中很受数学家们钟爱的一类方程叫做代数方程 (algebraic equation), 也叫多项式方程 (polynomial equation), 它只包含变量的整数次幂 (Fermat 大定理所涉及的方程就是一种代数方程)。 我们接下来要讨论的就是有限域上的代数方程。

作为有限域上代数方程的最简单的例子之一, 我们考虑有限域 Fq 上的二元代数方程 F(x, y)=0。 这里 F(x, y) 是一个所有系数及变量 x、 y 都在 Fq 中取值的多项式 (“所有系数及变量 x、 y 都在 Fq 中取值” 是该方程作为 “有限域 Fq 上” 的方程所需满足的定义性条件)。 我们知道, 像 F(x, y)=0 这样的二元方程在实平面上的解 (即 x、 y 都为实数的解) 的集合通常是曲线, 借用这种术语, 数学家们把二元代数方程 F(x, y)=0 的解的集合称为代数曲线 (algebraic curve)[注五], 如果该二元代数方程是有限域上的方程, 相应的解的集合则称为有限域上的代数曲线。 当然, 这种所谓的 “曲线” 实际上只是有限多个点的集合, 因为它所在的整个 “平面” Fq×Fq 总共也只有 q2 个点。

另一方面, 一个代数方程 F(x, y)=0 如果是有限域 Fq 上的方程, 当然也是以 Fq 为子域 (subfield)、 但比 Fq 更大的有限域上的方程, 从而可以表示那些更大的有限域上的代数曲线。 那些更大的有限域称为 Fq 的扩张域 (extension field)。 可以证明, Fq 的扩张域是那些所含元素个数为 q 的正整数次幂的有限域, 即 Fqm (m=1, 2, 3, ...)。 因此, 有限域 Fq 上的代数方程 F(x, y)=0 可以被视为是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代数方程。

以上这些貌似与 Riemann 猜想风马牛不相及的东西, 就是 “山寨版” Riemann 猜想赖以存身的那座 “山”。

三十三. “山寨版” Riemann 猜想

现在我们要往 “山寨版” Riemann 猜想挺进了。 由于 Riemann 猜想是关于 Riemann ζ 函数零点分布的猜想, 因此很明显, 要想有 Riemann 猜想, 首先得有 Riemann ζ 函数。 只不过, Riemann 猜想如果是 “山寨版” 的, 作为其 “核心部件” 的 Riemann ζ 函数当然也只需是 “山寨版” 的即可。 这 “山寨版” 的 Riemann ζ 函数从何而来呢? 正是从有限域上的代数曲线中来。

为此, 我们要引进有限域上代数曲线 F(x, y)=0 的一个重要性质, 那就是它所含点的数目。 这个性质之所以重要, 因为它实际上就是有限域上代数方程 F(x, y)=0 的解的数目。 如前所述, 解的数目对于研究方程来说是一个重要课题, 相应的, 所含点的数目对于代数曲线来说也是一个重要性质。 我们在前面说过, 有限域 Fq 上的代数方程 F(x, y)=0 可以被视为是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代数方程。 用代数曲线的语言来说, 这意味着有限域 Fq 上的代数曲线 F(x, y)=0 可以被视为是所有有限域 Fqm (m=1, 2, 3, ...) 上的代数曲线。 另一方面, 代数曲线 F(x, y)=0 所含点的数目, 或代数方程 F(x, y)=0 的解的数目, 显然是与定义域 Fqm 的选取有关的。 为了体现这种关系, 我们用 Nm 表示定义域为 Fqm 时的这一数目。

有了这些准备, 现在我们可以定义 “山寨版” 的 Riemann ζ 函数了, 那就是:

如此定义的 “山寨版” Riemann ζ 函数与 “正版” Riemann ζ 函数一样, 是关于复变量 s 的函数, 它有一个比较正式的名字, 叫做有限域上代数曲线的 ζ 函数。 在这一函数的定义中, 我们特意引进了一个表示代数曲线的字母 C, 因为此定义所给出的函数显然与代数曲线的选取有关; 定义中的 q 则来自于代数曲线 C 的原始定义域 Fq 中的 q (q 不出现在左侧, 是因为表示代数曲线的 C 已经包含了 Fq 这一定义域信息, 从而包含了 q)。

有了 “山寨版” 的 Riemann ζ 函数, 我们就可以表述有关其零点分布的 “山寨版” Riemann 猜想了。 由于这个猜想是关于有限域上代数曲线的 ζ 函数零点分布的, 因此我们称其为有限域上代数曲线的 “山寨版” Riemann 猜想。

有限域上代数曲线的 “山寨版” Riemann 猜想: 有限域上代数曲线的 ζ 函数的所有零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

由于 “山寨版” Riemann ζ 函数与代数曲线的选取有关, 而后者有无穷多种, 因此上述 “山寨版” Riemann 猜想实际上是无穷多个猜想的统称。 对于特定的代数曲线及原始定义域, 该猜想可以通过对 “山寨版” Riemann ζ 函数的直接计算加以验证, 有些甚至是相当容易的, 但涵盖所有代数曲线及原始定义域的普遍证明却大为不易。

我们在 上节 中曾经提到, Weil 并不是 “山寨版” Riemann 猜想这一研究方向的开创者。 事实上, 早在 1923 年, 奥地利数学家 Emil Artin (1898-1962) 就提出了有限域上一类被称为超椭圆曲线 (hyperelliptic curve) 的特殊代数曲线上的 ζ 函数, 以及相应的 “山寨版” Riemann 猜想[注六]。 1933 年, 德国数学家 Helmut Hasse (1898-1979) 则证明了有限域上一类被称为椭圆曲线 (elliptic curve) 的特殊代数曲线上的 “山寨版” Riemann 猜想 (请注意, Artin 只是提出猜想, Hasse 则是证明猜想, 而且两人所针对的是不同情形下的猜想——前者针对超椭圆曲线, 后者针对椭圆曲线)[注七]

Artin 的猜想及 Hasse 的证明虽都有一定的广泛性 (各自都涵盖了无穷多的个例), 但针对的仍只是特定类型的代数曲线。 Weil 的贡献则在于给出了上述 “山寨版” Riemann 猜想的普遍证明 (即针对任意代数曲线的证明)。 不过, 在 上节 提到的他给 Cartan 的信件中, 他给出的只是证明的大致思路, 完整的证明直到二战结束后的 1948 年才发表。 Weil 对 “山寨版” Riemann 猜想的贡献还不止于此。 完成了对上述猜想的证明后的第二年, 即 1949 年, Weil 对该猜想进行了一次重要推广。 这个推广的证明是如此困难, 不仅他自己未能给出, 在接下来二十四年的时间里, 参与研究的所有其他数学家也都未能给出完全的证明。 他的这一推广因此而被称为了 Weil 猜想 (Weil conjectures)。

Weil 猜想包含了若干个命题, “山寨版” Riemann 猜想是其中之一, 并且从历史上讲是证明最为不易的一个。 不过, Weil 猜想中的 “山寨版” Riemann 猜想的证明虽然困难, 其由来却是对上述 “山寨版” Riemann 猜想的很直接的推广, 即将上述猜想中的代数曲线推广为高维几何对象。 这种高维几何对象有一个专门的名称, 叫做代数簇 (algebraic variety), 它也是用代数方程 (或方程组) 来定义的, 并且也可以定义在有限域上。 与有限域上代数曲线的 ζ 函数完全类似地, 也可以引进有限域上代数簇的 ζ 函数。 对于这种 ζ 函数, 也存在 “山寨版” 的 Riemann 猜想, 我们称其为有限域上代数簇的 “山寨版” Riemann 猜想, 它是 Weil 对有限域上代数曲线的 “山寨版” Riemann 猜想的推广, 也是 Weil 猜想的一部分。

有读者可能会问: 将曲线推广为高维几何对象这样直截了当的推广, 那是中学生都能想到的事情, 为何要等到 1949 年才问世? 答案是: 有限域上代数簇的 “山寨版” Riemann 猜想与普通 (即有限域上代数曲线的) “山寨版” Riemann 猜想以及 “正版” Riemann 猜想有一个绝非显而易见的差异, 那就是它所要求的零点分布不再是单一直线, 而是与代数簇的维数有关的一系列直线。 具体地说, Weil 猜想中的 “山寨版” Riemann 猜想是这样的:

有限域上代数簇的 “山寨版” Riemann 猜想: 有限域上的 d 维代数簇的 ζ 函数的所有零点都位于复平面上 Re(s)=1/2, 3/2, ..., (2d-1)/2 的直线上。

如前所述, 这一 “山寨版” Riemann 猜想只是 Weil 猜想的一部分, 而非全部。 Weil 猜想还包括了关于有限域上代数簇的 ζ 函数的另外几个命题。 虽然与普通 (即有限域上代数曲线的) “山寨版” Riemann 猜想及 “正版” 的 Riemann 猜想都有所不同, 这个推广了的 “山寨版” Riemann 猜想与后两者的相似性还是很显著的, 不算有负 “山寨版” 的 “光荣称号”。 此外, 在 d=1 的特殊情况下, 该猜想可以自动给出有限域上代数曲线的 “山寨版” Riemann 猜想, 这也印证了它作为 “山寨版” Riemann 猜想的地位。

Weil 猜想提出后引起了很多数学家的兴趣, 在试图证明这一猜想的数学家中, 包括了 Artin 的学生 Bernard Dwork (1923-1998)、 Artin 的儿子 Michael Artin (1934-)、 1954 年 Fields 奖得主 Jean-Pierre Serre (1926-)、 1966 年 Fields 奖得主 Alexander Grothendieck (1928-) 等人。 经过这些数学家的努力, Weil 猜想的某些部分在二十世纪六十年代得到了证明, 但有限域上代数簇的 “山寨版” Riemann 猜想部分, 则直到 1974 年才由 Grothendieck 的学生、 比利时数学家 Pierre Deligne (1944-) 所证明, 他的证明借助了 Grothendieck 的工作。 四年之后, Deligne 因这一工作获得了 1978 年的 Fields 奖。 在证明包括 “山寨版” Riemann 猜想在内的 Weil 猜想的过程中, 数学家们发展出了一些很有用的东西, 比如 Grothendieck 创立了一种全新的数学工具: ?tale 上同调 (?tale cohomology), 对数学——尤其是代数几何——的发展起到了促进作用。 从这个意义上讲, “山寨版” Riemann 猜想与其它一些重要的数学猜想一样, 是一只 “下金蛋的鹅” (the goose that lays the golden egg——这是 Hilbert 对 Fermat 猜想的评价)。 这也是它的证明虽迄今不曾为人们提供证明 “正版” Riemann 猜想的有效思路[注八], 却依然被视为重要成就的主要原因。 当然, “山寨版” Riemann 猜想的证明, 多多少少使一些人对 “正版” Riemann 猜想的成立抱有了更大的信心。

在结束本节前, 还有一件事情需要交代一下。 细心 (或挑剔?) 的读者也许还会提出这样一个问题: 我们说了半天的 “山寨版” Riemann 猜想, 作为基础的那个所谓 “山寨版” 的 Riemann ζ 函数跟 “正版” 的 Riemann ζ 函数并不像啊? 难道就凭它的零点也都在直线上, 就将它称为 “山寨版” 的 Riemann ζ 函数, 既而将有关其零点分布的猜想称为 “山寨版” Riemann 猜想吗? 如果那样的话, 炮制 “山寨版” Riemann 猜想可就忒容易了, 因为构造一个所有零点都在直线上——甚至在 Re(s)=1/2 的直线上——的函数其实是很容易的事情 (请读者自行构造几个那样的函数), 难道那样一来它们就都可以跟 Riemann 猜想攀上亲?

这些问题的答案是: 这里引进的 “山寨版” Riemann ζ 函数及 Riemann 猜想与 “正版” Riemann ζ 函数及 Riemann 猜想的相似性, 绝不仅仅是因为它们的零点都分布在直线上, 而有着更深层的理由。 比方说, “山寨版” Riemann ζ 函数跟 “正版” Riemann ζ 函数一样, 可以写成类似于 Euler 乘积公式 那样的表达式, 而且也满足类似于 “正版” Riemann ζ 函数所满足的函数方程。 不仅如此, 与 “正版” Riemann 猜想的成立可以给出对素数分布的最佳估计 (即与素数定理之间的最小偏差——参阅 第五节) 相类似, “山寨版” Riemann 猜想的成立可以给出对有限域上代数簇所包含的点的数目 (即定义代数簇的方程或方程组在有限域上的解的数目) 的某种最佳估计。 可惜的是, 这些结果, 以及 “山寨版” Riemann 猜想的证明, 都不是省油的灯 (比方说 “山寨版” Riemann ζ 函数所满足的函数方程——对有限域上的代数簇而言——其实是 Weil 猜想的一部分)。 考虑到它们毕竟只是关于 “山寨版” 的, 而我们还想保留几枚牙齿去啃点别的东西, 在这个方向上就不多逗留了。 如果本节的介绍让读者大致知道了 “山寨版” Riemann 猜想是怎么一回事, 比诸如 “它是 Riemann 猜想在代数簇上的类似物” 之类口诀式的介绍强一点, 我们的目的就算达到了。

聊完了 “山寨版” 的 Riemann 猜想, 接下来, 我们要走向另一个极端, 去领略几款 “豪华版” 的 Riemann 猜想。

注释

  1. 与本系列的上下文不无巧合的是, 这些新内容的选择在一定程度上受到了 Weil 参与创立的 Bourbaki 学派的影响。
  2. 需要说明的是, 普通时钟与以 12 为模的模算术略有差异: 前者包含的数字是从 1 到 12, 后者则是从 0 到 11。 这两者是等价的, 因为 12=0 (mod 12), 但后者对数学研究来说更方便, 因为否则的话, 就必须接受一个不方便的事实, 那就是 12 这个看起来非零的数字具有 0 的算术性质。
  3. 在加、 减、 乘、 除这四种运算中, 加和乘是基本运算, 减和除作为加和乘的逆运算, 可以由每个元素相对于加和乘必须存在逆元素 (唯一的例外是 0 相对于乘不存在逆元素) 这一要求引申出来。 此外, 我们在小学算术中就已熟悉的交换律、 结合律和分配律也是域的定义的一部分, 感兴趣的读者请参阅域的完整定义。
  4. 细心的读者可能还会提出这样一个问题: 我们用 Fq 来表示元素数目为 q 的有限域, 但如果那样的有限域有不止一个怎么办? 用什么办法来区分它们呢? 答案是, 元素数目为 q 的有限域彼此是同构 (isomorphic) 的, 即彼此的元素及运算关系全都是一一对应的。 对于数学研究来说, 这样的有限域可以视为等同, 从而无需区分。 另外补充一点: 不仅有限域的元素数目必须为素数的正整数次幂, 而且对于任何一个素数的正整数次幂 pn, 都必定存在一个元素数目恰好为 pn 的有限域。
  5. 效仿普通解析几何的做法, 由 F(x, y)=0 的解的集合所定义的代数曲线本身也可以用 F(x, y)=0 来表示, 称为代数曲线 F(x, y)=0。 另外要提醒读者的是, 代数曲线不仅可以用像 F(x, y)=0 那样的代数方程来表示, 也可以用方程组来表示, 就好比普通空间中的曲线——比如一个圆——既可以用一个方程——比如 x2 + y2 = 1——来表示, 也可以用方程组——比如 x2 + y2 + z2 = 1 和 z=0——来表示。 为行文简洁起见, 我们在正文中一律以方程为例。
  6. 超椭圆曲线是指形如 y2=f(x), 其中 f(x) 为满足特定条件的四次以上多项式, 的代数方程所表示的代数曲线。
  7. 椭圆曲线是指形如 y2=f(x), 其中 f(x) 为满足特定条件的三次多项式, 的代数方程所表示的代数曲线。
  8. Weil 年轻时曾对 “山寨版” Riemann 猜想有可能为 “正版” Riemann 猜想提供借鉴或证明抱有乐观看法。 他甚至设想, 如果自己因此而证明 Riemann 猜想的话, 将会有意推迟到 1959 年——Riemann 猜想提出 100 周年时——才公布。 不过, 他的这种乐观态度到晚年时已不复存在, 他曾对一位友人表示, 自己希望能在有生之年看到 Riemann 猜想的解决, 但这是不太可能的。

二零一一年十月十九日写于纽约
二零一一年十月二十日发表于本站
http://www.changhai.org/

Riemann 猜想漫谈连载

(本文授权转载自卢昌海老师的个人博客,欲再转载者请联系原作者)

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