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科学松鼠会

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走近量子纠缠(13)——从纠缠态到Qubit   

2013-08-28 15:58:12|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文作者:张 天蓉

13.从纠缠态到Qubit

使用我们在第8节中表述纠缠态时所用的简单数学,描述一下三粒子纠缠时的状态。

现在,我们有三个粒子,它们分别都有两种定态0、1()。因此,它们的单粒子定态可以组成8种三粒子定态:

|111>、|110>、|101>、|100>、|011>、|010>、|001>、|000>。 (12.1)

这儿使用了狄拉克符号来表示三粒子的状态。狄拉克符号其实很简单,只不过是给原来代表状态的字母或数字两边,加上了一件由左右两个符号:∣>,制成的外套而已。套上了这件外套,所表示的状态看起来,要比接连写一串数字或字母,意义清楚明了多了,并且还多了一层‘量子’的意思。比如说,我们用∣111>来表示三个粒子都是1的那种量子状态。这儿的0和1,对电子来说,对应于不同的自旋;对光子来说,则对应于不同的偏振方向。其实,狄拉克创造的外套符号有两种。除了我们在(12.1)中用过的右矢∣>(英文名ket)之外,还有一个左矢<∣(英文名bra),我们以后也将会碰到。

读者可能还会发现,(12.1)中所列出的8种状态,与计算机数学中使用的二进制中,3个比特所能表达的所有2进制数值非常相像。不错,这正是我们本节的后半部分要介绍的qubit。在这儿,狄拉克ket外套∣>起到了作用,使它们看起来才有别于经典计算机科学中所说的bit!

和以前介绍过的双粒子纠缠态类似,从(12.1)中列出的的8种三粒子定态,我们可以组成无数多种纠缠态。其中格林伯格等人感兴趣的,是后来被人们称作GHZ态的那一种量子态。GHZ态可以写成如下表达式:

|GHZ> = |111> + |000> (12.2)

按照前面几节的惯例,我们在公式(12.2)中,略去了归一化系数-1。以后也都照此办理。

这个GHZ纠缠态是什么意思呢?类似于对双粒子纠缠态的解释,我们可以这样说:这个态是两个三粒子本征量子定态|111>和|000>的叠加态。再来复习复习前面几节中介绍过的所谓‘叠加’的意思:当我们描述电子干涉双缝实验时,‘叠加’意味着电子同时通过两条缝,既穿过缝1,又穿过缝2。所以,这儿|111>和|000>的‘叠加’ 就应该意味着,这个三粒子体系既是|111>,又是|000>,或言之:同时是定态|111>和定态|000>。如果使用哥本哈根派波函数塌缩的诠释说法:在测量之前,三个粒子是什么状态我们完全不能准确地说清楚。但是,只要我们一旦测量其中一个粒子,比如说,我们如果在方向测量粒子A的自旋,其结果是|1>,那么,另外两个粒子方向的自旋状态也立即分别塌缩为|1>;如果我们测量其中一个粒子()在方向的自旋,结果是|0>,那么,另外两个粒子方向的自旋状态也立即塌缩为|0>。在上述说法中,如果被测量的不是粒子,而是,另外两个粒子也将遵循类似的塌缩过程。

使用更严格的数学,可以证明:GHZ纠缠态是三粒子量子态中纠缠度最大的态。我们在这儿谈到了纠缠度的大小,却尚未对纠缠度下定义。说实话,对纠缠度至今还没有一个公认的明确定义。一般可以用量子统计中使用的冯·诺伊曼‘熵’来定义纠缠度,但这就越扯越远,越扯越专业化了,就此打住。

除了GHZ纠缠态之外,在量子信息中又有人研究一种三粒子纠缠态中的W-态:
|W> = |100> + |010> + |001> (12.3)

下图用一个很直观的图像描述,来表示GHZ纠缠态和W-纠缠态的区别:

074041titnn8vdek6oyuti【三粒子纠缠态和Knot理论】

GHZ态和W-态分别对应于knot theory中的Borromean ring和Hopf ring。从上图中很容易看出两种结构的区别。如果我们断开图中左边Borromean ring三个圆环中的任何一个,其余两个圆环也立即分开了,这点性质可以对应于刚才我们所描述的GHZ态的量子力学特征:如果一旦测量三粒子系统中的任何一个粒子,其余两个粒子也立即分别塌缩为它们各自的单粒子定态。但是,如果我们考察图中右边的Hopf ring就会发现,当剪开三个圆环中的任何一个时,另外两个圆环并未被分开,仍然纠缠在一起。这种knot的性质也有它的量子力学对应:从W-态的表达式(12.2)中看出。当测量其中一个粒子而结果为|0>的时候,另外两个粒子塌缩到不能分离的双粒子纠缠态:|10> + |01>。

GHZ态和W-态是两类完全不同的纠缠态,不能互相转换。对三粒子系统的GHZ态和W-态可以很容易地推广到n粒子系统。用量子计算的语言来说,表达式(12.2)和(12.3)可以很容易地从3-qubit(3位量子元)系统,推广到n-qubit(n位量子元)系统。

现在,我们解释一下,什么叫qubit(或称q-比特)?类似于比特,它所表示的是量子计算机技术中的一个存储单位。随着计算机和网络走进社会,走进人们的日常生活,有关‘比特’,‘二进制’等概念几乎已经家喻户晓。而现在在本文中,我们在‘比特’这个词前面,加上了一个q,本文讨论的又是量子(quantum)问题,qubit的意义便显而易见了,那不就是一个‘量子比特’吗?

然而,重要的是,一个‘量子比特’和一个‘比特’,本质上有些什么相同及不同之处呢?很幸运,我们在前面表示三粒子纠缠时,用的是0和1,这和计算机中表示‘比特’和‘二进制’的符号是完全一致的,这是量子比特和比特的共同点,至于它们的不同之处,可以从物理和算法两种角度来理解。

我们首先从物理的角度来看‘比特’:在经典计算机的电子线路中,一般是經由介質中某點电压的‘高’和‘低’兩种不同的物理狀態來表示數學中的‘0’和‘1’。比如说,我们可以将大于0.5伏特的电压状态,规定为‘1’,小于0.5伏特的电压状态,规定为‘0’。这样,在一個确定的時刻,某点的电压或者是‘高’,或者是‘低’,也就是说,一个寄存器的输出,要么是‘1’,要么是‘0’,兩种狀態中只能取其中之一。这是由经典物理的决定性所决定的。这个或0或1的电压输出,就可以用来表示一个‘比特‘。

看到这儿,读者们已经预料到了,既然用经典的电压高低状态来表示比特,那么,本文中讨论了半天的量子态,就可以用来在物理上实现一个‘量子比特’。比如说,电子的自旋有‘上’‘下’之分,光子的园偏振方向有‘左’‘右’之别,这些量子力学中的物理量都可以用来对应于1和0两个数字,构成‘量子比特’。

谈到量子比特的特别之处,又回到了我们贯穿此文的,唠唠叨叨不断说到的一个量子现象的基本特点:那种“既是此,又是彼”的叠加态。也就是说,量子力學中的物理量都是分立的、不连续的、几率的。不存在那种类似经典力學中的‘在确定的時刻,确定的输出电压’的概念。所以,一个‘量子比特’在一個确定時刻的数值,是非決定性的。既是‘上’,又是‘下’,同時是‘0’又是‘1’。

‘量子比特’和‘比特’在算法意义上的不同,也是基于用以表达它们的物理状态的不同。我们知道,一个经典的比特有0和1两种状态,可以用它来表示0,或者表示1,但只是表示0、1中的其中一个。而一个量子比特同时有0和1两种状态,因此,就可以用它来表示0,也表示1,同时代表两个数。‘一个数’和‘两个数’,差别不大,但如果是3个比特(或3个量子比特)放在一起,就有些差别了。三个经典比特有了8个不同的状态,但仍然只能表示0-7之间的一个数。如果是三个量子比特组成的系统,就不一样了。那种情形下,可以同时存在8种不同的状态,因此,它可以用来同时代表0-7这8个数。

现在,假设我们有了一个3-qubit系统构成的计算器,我们可以进行计算了。比如说,将它乘以5。当我们输入5,并发出运算指令后,这个3-qubit系统中0-7的所有8个数都开始进行运算,并同时得出8个结果来!令人吃惊吧,这比较起一个经典的3-bit系统只能得到一个结果来说,运算速度不是快了8倍吗?因为它相当于8个经典计算器同时进行平行运算。可不要小看这个8倍,如果把它看成是的指数形式,意义就大了。假设我们的量子计算机有100qubit,或者更多的话,你不妨计算一下,计算速度将增快多少?

用一个通俗的比喻,也就是说,经典的原则是:‘魚’和‘熊掌’,不能兼得;而在量子世界中,‘魚’和‘熊掌’竟然可以兼得!这样,一台量子计算机就可以相当于有多台,并且是指数倍增长的多台经典计算机,在同时进行平行运算。可想而知,那速度当然快啰!

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本文授权转载于张天蓉老师的个人博客,欲再转载者请联系原作者

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