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科学松鼠会

让我们剥开科学的坚果

 
 
 

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什么是科学松鼠会? 我们认为,对于部分人来说,科学就像一枚枚难以开启的坚果,虽味美却不易入口。 我们希望自己能够像松鼠一样,打开科学的坚硬外壳,将有营养的果仁剥出来,让人们能够领略到科学的美妙。 我们试图让科学传播并且流行起来。

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[what if]第106期:乌贼打印机  

2014-08-13 19:53:23|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文作者:一起剥坚果

提问:

假设我用一个普通的喷墨打印机以12号字体打印数字1会用掉多少墨水分子?如果我想让打印出来的数字的数值大小和所用掉的墨水分子数相近,那么这个数字会有多大呢?

—— David Pelkey

回答:

回答这个问题我们需要请出费米估算法。这样我们关注的不是准确的数字,而是在开始仔细研究这个问之前就了解这个数大致会有多大,是10位数,还是100位数,还是无穷大?

于是我们可以看看在开始查资料前可以用费米估算法得出什么来。

一个喷墨打印机的墨盒够黑白打印许多张A4纸,我们不如乐观地估计可以打印几百张。又假设平均每张纸上有500个单词,每个单词含有5个字母,这样一张纸上差不多有2500个字母。100张纸就是25万个字母,400张就是100万个,因而每个墨盒够打印的字母数量应该是个六位数。

那么每个墨盒里有多少个墨水分子呢?这个问题不查资料的话很难回答,但我还是打算试着猜一下。

我记得在化学课上听到过一个叫阿伏伽德罗常数的东西,但我貌似不记得准确值了。我只记得它等于一个数乘以10的23次方,也就是一个24位数。我还记得它等于多少克什么物质的原子总数,应该不会很大吧。[1]

wpid-14062012578-2014-08-13-16-53.gif

(— 有只老鹰把鸽子吃了!

— 吃了一整个学期?

— 我们学校周围有许多鸽子嘛~)

喷墨打印机的墨盒里的墨水量一般只有几十克[2],我们不妨假设这也是同样的一个小数字,因为费米估算法就是这样的。

墨水的成分是什么我不知道。(记住,到目前为止我们还不能查资料。)但我知道乌贼能喷出像墨水一样的东西,所以我想墨水里应该有一些复杂的有机分子吧。这不是什么好消息,因为这下我连估计分子重量所在的大致数量级都做不到了。

不过别灰心,因为我们需要关心的是其中最小的分子,因为它们占总数中的大头。

墨水应该像许多乌贼一样含有很多水分。我打赌当墨水变干的过程中其中绝大部分的水分子都会跑出来,因为这就是“变干”这个词的本意嘛。

wpid-14062015252-2014-08-13-16-53.gif

(“我们去把别的东西弄湿吧,这样人们就不会讨论它了,因为大家都不喜欢这个词!哦耶!太棒了!”)

现在故事有点编不下去了,所以我们不妨大胆猜想墨水分子中有10%是那些占据绝大部分数量的小分子,应该和阿伏伽德罗常数定义中提到的那啥碳XX原子数量大小相当。阿伏伽德罗常数有24位,那么它的10%就是23位数。如果我们之前做的假设没有错得太离谱的话,那么一个墨盒中的墨水分子应该也有约23位数那么多。

如果一个墨盒中有23位数那么多的墨水分子,一个墨盒又能打印6位数那么多的字母,那么每打印一个字母(或数字)所需的墨水分子数应该是个23-6=17位数。[3]

这意味着打印一个十位数需要18位数那么多的墨水分子,一个100位数需要19位数那么多的墨水分子。啊哈!找到交点了!要使打印出的数字的大小和所消耗的墨水分子数相当,那么这个数的位数一定在18位与19位之间。

所以我们根据费米估算法得出的答案是一个很靠近19位数的18位数。或许和真实值会相差几个数量级,但不管怎么样这个数可以打印在一行里。

wpid-number-2014-08-13-16-53.png

(加减半个数量级真是一个奇怪的说法)

现在我们该查查资料看看我们的估算到底准不准了。

墨水的成分十分复杂,而且种类不同成分相差也很大,这个一点不出乎我们的意料。彩色墨水中有许多大分子,尤其是某些色素分子。不过还好David所问的便宜的黑白墨水的成分就要简单很多。

我打算用我家随便一台惠普打印机的黑白墨水来研究一下。惠普没有披露任何关于墨水成分的信息,但它有发布一份墨水的材料安全性数据表

从这份表格中的信息我们可以知道墨水中含水量超过70%,它还含有2-吡络烷酮(用于合成抗癫痫药乙琥胺)以及1,5-戊二醇。

墨水中还含有最多5%的变性炭黑,这是一种像石墨和钻石那样的微晶碳。这对我们是个好消息,因为微晶碳的成分十分单一,它的分子式就是“碳(C)”。[4]

正好阿伏伽德罗常数的定义用的也是碳原子,好巧。一般的消费级墨盒里的墨量大概是几克,比阿伏伽德罗常数中用到的12克碳要少一些,这意味着我们的估算值大了半个数量级。我们很幸运在估算的过程中用到了碳,不过惠普墨水中的炭黑含量不超过5%,不是我们猜的10%,这样我们的估算值还要再往下降一些。不过总体来说还是猜得八九不离十。干得好!

对了,这也反衬除了数字世界是多么的简洁:

wpid-pixels-2014-08-13-16-53.png

(用的是基本标准的恐龙漫画字体)
这也反衬出了墨水是有多昂贵。说道墨水,我想到了八腕乌贼,这种生物的墨囊容量大概是几毫升。这个数字来源于这篇论文中提到的收集罐的大小,要知道一只乌贼的质量也就100来克。

30刀应该可以买到几千克的新鲜活乌贼,加入你恰好挑中了其中一条合适的,那么你就有5到6盒的墨水量啦。

wpid-14062020051-2014-08-13-16-53.gif

(给我灌一些CMYK佳得乐!)

我是不是很机智?

  • 注1:其实是6.022*10^23,等于12克碳-12中的碳-12原子数,或是1克氢中的氢原子数。
  • 注2:如果这个数字很大的话,拿起来就不方便了。但如果不到1克的话,一想到我是花了30刀买了这玩意儿就让人心痛。
  • 注3:我们其实在把相除操作转化为相减操作。如果你觉得这个小窍门很好玩,打算进一步发展一下以变得更加严谨的话,那么恭喜你,你发明了对数!
  • 注4:你可以认为David的问题中指的是墨水颗粒数,也就是说一堆墨水分子只算一个,不过这样你需要准确地确定干透的墨水里含有多少水分以及1,5-戊二醇有多少,这可是个苦差事。
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